Question

（本小題共14分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為的中點(diǎn)，．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）點(diǎn)在線段上，，試確定的值，使平面；

（Ⅲ）若平面，平面平面，求二面角的大小．

 

Answer 1

【答案】

證明：（Ⅰ）連接 ．

因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601110591788514/SYS201205260112395584337459_DA.files/image002.png">為菱形，，

所以△為正三角形．又為中點(diǎn)，

所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601110591788514/SYS201205260112395584337459_DA.files/image008.png">,為的中點(diǎn)，

所以．

又，

所以平面．                            ………………4分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，∥平面．

下面證明：

連接交于，連接．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601110591788514/SYS201205260112395584337459_DA.files/image021.png">∥，

所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601110591788514/SYS201205260112395584337459_DA.files/image014.png">∥平面，平面，平面平面，

所以∥.

所以．

所以，即．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601110591788514/SYS201205260112395584337459_DA.files/image030.png">，

所以．

所以，

所以∥.

又平面，平面，

所以∥平面．                                 …………9分

（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601110591788514/SYS201205260112395584337459_DA.files/image034.png">，

又平面平面，交線為，

所以平面．

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系．

由===2，

則有，，．

設(shè)平面的法向量為=，

由，

且，，

可得

令得．

所以=為平面的一個(gè)法向量．

取平面的法向量=，

則，

故二面角的大小為60°．                    …………14分

【解析】本題考查線面垂直和二面角、探索性問(wèn)題等綜合問(wèn)題。考查學(xué)生的空間想象能力。線面垂直的證明方法：（1）線面垂直的定義；（2）線面垂直的判斷定理；（3）面面垂直的性質(zhì)定理；（4）向量法：證明這個(gè)直線的方向向量和這個(gè)平面的法向量相互平行.

線面垂直的證明思考途徑：線線垂直線面垂直面面垂直.本題第一問(wèn)利用方法二進(jìn)行證明；探求某些點(diǎn)的具體位置，使得線面滿足垂直關(guān)系，是一類(lèi)逆向思維的題目.一般可采用兩個(gè)方法：一是先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論；二是運(yùn)用推理證明計(jì)算得出結(jié)論，或先利用條件特例得出結(jié)論，然后再根據(jù)條件給出證明或計(jì)算.本題第二問(wèn)主要采用假設(shè)存在點(diǎn)，然后確定線面平行的性質(zhì)進(jìn)行求解. 本題第三問(wèn)利用向量法求解二面角.