Question

已知圓O₁：（x+1）²+y²=1，圓O₂：（x-1）²+y²=9，動(dòng)圓M分別與圓O₁相外切，與圓O₂相內(nèi)切．求動(dòng)圓圓心M所在的曲線的方程．

Answer 1

分析：由于圓O₁：（x+1）²+y²=1，圓O₂：（x-1）²+y²=9，動(dòng)圓M分別與圓O₁相外切，與圓O₂相內(nèi)切．故可知?jiǎng)狱c(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)O₁（-1，0）、O₂（1，0）的距離之和為4，從而軌跡是橢圓，故可求方程；

解答：解：設(shè)M（x，y），動(dòng)圓M的半徑為r（r＞0），
則由題意知|MO₁|=1+r，|MO₂|=3-r，
于是|MO₁|+|MO₂|=4，即動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)O₁（-1，0）、O₂（1，0）的距離之和為4．…（3分）
又因?yàn)?nbsp; 4=|MO₁|+|MO₂|＞|O₁O₂|=2，
所以點(diǎn)M在以兩定點(diǎn)O₁（-1，0）、O₂（1，0）為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓上．設(shè)此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1   (a＞b＞0)，這里a=2，c=1，…（6分）
則  b²=a²-c²=3．
因此  動(dòng)圓圓心M所在的曲線方程為   

x2

4

+

y2

3

=1．…（8分）
注：1．若限制x≠-2，也可以；
2、若設(shè)M（x，y），由|MO₁|+|MO₂|=4得  

(x+1)2+y2

+

(x-1)2+y2

=4，整理并化簡(jiǎn)得

x2

4

+

y2

3

=1，也可以．

點(diǎn)評(píng)：本題以圓與圓的位置關(guān)系為依托，考查軌跡方程，軌跡是利用圓與圓的位置關(guān)系，得出軌跡是橢圓，從而得解．