Question

已知a₁，a₂，a₃，…，a₃₀是首項為1，公比為2的等比數列．對于滿足0＜k＜30的整數k，數列b₁，b₂，b₃，…，b₃₀由確定．記C=a₁b₁+a₂b₂+…+a₃₀b₃₀．
（Ⅰ）當k=1時，求C的值；
（Ⅱ）求C最小時k的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把k=1代入得然后列舉出C的項利用等比數列的求和公式求出C即可；
（Ⅱ）寫出C=a₁b₁+a₂b₂+…+a_kb_k+…+a₃₀b₃₀代入得到前30-k和k項，分別利用等比數列的求和公式化簡，并利用基本不等式得到：，當且僅當2^30-k=2^k時取等號，求出k即可．
解答：解：（Ⅰ）當k=1時，
∴C=a₁b₁+a₂b₂+…+a₃₀b₃₀=a₁a₂+a₂a₃+…+a_ra_r+1+…+a₂₉a₃₀+a₃₀a₁
=1×2+2×2²+…+2^r-1×2^r+…+2²⁸×2²⁹+2²⁹×1
=2+2³++2^2r-1++2⁵⁷+2²⁹
=
（Ⅱ）C=a₁b₁+a₂b₂+…+a_kb_k+…+a₃₀b₃₀
=1×2^k+2×2^k+1+…+2^k-1×2^2k-1+…+2^29-k×2²⁹+2^30-k×1+2^31-k×2+…+2²⁹×2^k-1
=+
=+
=
=
=
當且僅當2^30-k=2^k，即k=15時，C最�。�
點評：考查學生靈活運用等比數列性質的能力，以及會用數列的遞推式進行化簡求值，會用基本不等式求函數的最小值．