Question

 雙曲線的中心是原點O，它的虛軸長為，相應于焦點F（c,0）（c＞0）的準線與x軸交于點A，且|OF|=3|OA|,過點F的直線與雙曲線交于P、Q兩點.

（1）求雙曲線的方程；

（2）若=0，求直線PQ的方程.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解．（1）由題意，設曲線的方程為= 1（a＞0,b＞0）

由已知 解得a = ，c = 3所以雙曲線的方程為= 1… (6分)

（2）由（1）知A（1，0），F(xiàn)（3，0），

      當直線PQ與x軸垂直時，PQ方程為x = 3 .此時,≠0,應舍去.

      當直線PQ與x軸不垂直時,設直線PQ的方程為y =k ( x – 3 ).

        由方程組 得

        由于過點F的直線與雙曲線交于P、Ｑ兩點， 則－２≠０，即k≠，

    　　由于△＝36-4(-2)(9+6)=48(+1)＞0即k∈R.

        ∴k∈R且k≠（*）　………………………(８分)

        設Ｐ（，），Ｑ（，），則

       

         由直線PQ的方程得= k（-3），= k（-3）

        于是=（-3）（-3）=[-3（+）+ 9]  （3）

        ∵ = 0，∴（-1，）·（-1，）= 0

        即-（+）+ 1 + = 0     （4）

        由（1）、（2）、（3）、（4）得

        = 0

        整理得=，∴k = 滿足（*）

        ∴直線PQ的方程為x - -3 = 0或x +-3 = 0………(13分)