Question

（2007•寶坻區(qū)二模）雙曲線的中心是原點O，它的虛軸長為2

6

，相應(yīng)于焦點F（c，0）（c＞0）的準(zhǔn)線l與x軸交于點A，且|OF|=3|OA|．過點F的直線與雙曲線交于P、Q兩點．
（Ⅰ）求雙曲線的方程及離心率；
（Ⅱ）若

AP

•

AQ

=0，求直線PQ的方程．

Answer 1

分析：（I）利用a，b，c的關(guān)系和離心率計算公式即可得出；
（II）把直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系、向量的數(shù)量積運算即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由題意，設(shè)曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
由已知

a2+5=c2 c=3 a2 c

解得a=

3

，c=3
∴雙曲線的方程這

x2

3

-

y2

6

=1，離心率e=

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（1，0），F(xiàn)（3，0），
當(dāng)直線PQ與x軸垂直時，PQ方程為x=3．此時，

AP

•

AQ

≠0，應(yīng)舍去．
當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時，設(shè)直線PQ的方程為y=（ x-3 ）．
由方程組

x2 3 - y2 6 =1 y=k(x-3)

得 （k²-2）x²-6k²x+9k²+6=0
由一過點F的直線與雙曲線交于P、Q兩點，則k²-2≠0，即k≠±

2

，
由于△=36k⁴-4（k²-2）（9k²+6）=48（k²+1）＞0即k∈R．
∴k∈R且k≠±

2

（*）
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

x1+x2= 6k2 k2-2 (1) x1x2= 9k2+6 k2-2 (2)

由直線PQ的方程得y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）
于是y₁y₂=k²（x₁-3）（x₂-3）=k²[x₁x₂-3（x₁+x₂）+9]（3）
∵

AP

•

AQ

=0，∴（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=0
即x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=0     （4）
由（1）、（2）、（3）、（4）得

9k2+6

k2-2

-

6k2

k2-2

+1+k2(

9k2+6

k2-2

-3

6k2

k2-2

+9)=0
整理得k²=

1

2

∴k=?

2

2

滿足（*）
∴直線PQ的方程為x-

2

y-3=0或x+

2

y-3=0

點評：熟練掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與雙曲線相交問題轉(zhuǎn)化為把直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系、向量的數(shù)量積運算等是解題的關(guān)鍵．