Question

【題目】函數(shù)有極值，且導(dǎo)函數(shù)的極值點是的零點.(極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值)

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

（2）若，這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）b＝（a＞3）；（2）（3，6]

【解析】

（1）求導(dǎo)得到g（x）＝f′（x）＝3x2+2ax+b，計算函數(shù)單調(diào)性，故f（﹣）＝0，計算得到b＝，再計算a＞3得到答案.

（2）f′（x）的極小值為f′（﹣）＝b﹣，設(shè)x1，x2是y＝f（x）的兩個極值點，則x1+x2＝，x1x2＝，f（x1）+f（x2）＝﹣+2，得到所以b﹣+﹣+2≥﹣，解得答案.

（1）因為f（x）＝x3+ax2+bx+1，所以g（x）＝f′（x）＝3x2+2ax+b，

g′（x）＝6x+2a，令g′（x）＝0，解得x＝﹣．

由于當x＞﹣時g′（x）＞0，g（x）＝f′（x）單調(diào)遞增；

當x＜﹣時g′（x）＜0，g（x）＝f′（x）單調(diào)遞減；

所以f′（x）的極小值點為x＝﹣，由于導(dǎo)函數(shù)f′（x）的極值點是原函數(shù)f（x）的零點，

所以f（﹣）＝0，即﹣﹣+1＝0，所以b＝（a＞0）．

因為f（x）＝x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有極值，所以f′（x）＝3x2+2ax+b＝0有實根，

所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣﹣＞0，解得a＞3，所以b＝（a＞3）．

（2）f′（x）的極小值為f′（﹣）＝b﹣，

設(shè)x1，x2是y＝f（x）的兩個極值點，則x1+x2＝，x1x2＝，

所以f（x1）+f（x2）＝++a（+）+b（x1+x2）+2

＝（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2＝﹣+2，

又因為f（x），f′（x）這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于﹣，

所以b﹣+﹣+2＝﹣≥﹣，因為a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，

所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，

由于a＞3時2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范圍是（3，6]．