Question

已知二次函數(shù)h（x）=ax²+bx+c（其中c＜3），其導(dǎo)函數(shù)y=h′（x）的圖象如圖，f（x）=6lnx+h（x）．
（1）求函數(shù)f（x）在x=3處的切線斜率；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間(1，m+

1

2

)上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若函數(shù)y=-x，x∈（0，6]的圖象總在函數(shù)y=f（x）圖象的上方，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出h′（x），根據(jù)圖象可知導(dǎo)函數(shù)過（0，-8），（4，0）兩點(diǎn)，則把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入h'（x）=2ax+b中求出a和b的值，把a(bǔ)和b的值代入h（x）中求出解析式，然后把h（x）代入到f（x）中化簡后求出f′（x），把x=3代入f′（x）中算出f′（3）即可得到切線的斜率；
（2）在定義域x大于0上，令f′（x）=0求出x的值，利用x的值分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）和（3，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，3），要使函數(shù)f（x）在區(qū)間(1，m+

1

2

)上是單調(diào)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可得m+

1

2

大于1且小于等于3，列出不等式求出解集即可到得到m的取值范圍；
（3）函數(shù)y=-x的圖象總在函數(shù)y=f（x）圖象的上方得到-x大于等于f（x），列出不等式解出c≤-x²-6lnx+7x恒成立，求出g（x）=-x²-6lnx+7x的最小值方法是令導(dǎo)函數(shù)=0求出x的值，分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最小值．根據(jù)c小于等于g（x）的最小值列出不等式，求出解集即可得到c的范圍．

解答：解：（1）由已知，h'（x）=2ax+b，
其圖象為直線，且過（0，-8），（4，0）兩點(diǎn)，把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入h'（x）=2ax+b
∴

2a=2 b=-8

?

a=1 b=-8

?h(x)=x2-8x+c，h'（x）=2x-8，
∴f（x）=6lnx+x²-8x+c
∴f′(x)=

6

x

+2x-8
∴f'（3）=0，所以函數(shù)f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線斜率為0；
（2）f′(x)=

6

x

+2x-8=

2(x-1)(x-3)

x

∵x＞0

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）和（3，+∞）∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，3）
要使函數(shù)f（x）在區(qū)間(1，m+

1

2

)上是單調(diào)函數(shù)，
則

1＜m+ 1 2 m+ 1 2 ≤3

，解得

1

2

＜m≤

5

2

（3）由題意，-x≥f（x）在x∈（0，6]恒成立，得-x≥6lnx+x²-8x+c在x∈（0，6]恒成立，即c≤-x²-6lnx+7x在x∈（0，6]恒成立，
設(shè)g（x）=-x²-6lnx+7x，x∈（0，6]，則c≤g（x）_min
g′(x)=-2x-

6

x

+7=

-2x2+7x-6

x

=

-(2x-3)(x-2)

x

因為x＞0，∴當(dāng)x∈(

3

2

，2)時，∴g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)
當(dāng)x∈(0，

3

2

)和（2，+∞）時，∴g'（x）＜0，g（x）為減函數(shù)
∴g（x）的最小值為g(

3

2

)和g（6）的較小者．
g(

3

2

)=-

9

4

-6ln

3

2

+7×

3

2

=

33

4

-6ln

3

2

，
g（6）=-36-6ln6+42=6-6ln6，
g(

3

2

)-g(6)=

9

4

-6ln

3

2

+6ln6=

9

4

+12ln2＞0，
∴g（x）_min=g（6）=6-6ln6．
又已知c＜3，
∴c≤6-6ln6

點(diǎn)評：考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．