Question

已知二次函數(shù)h（x）=ax²+bx+c（c＞0），其導函數(shù)y=h′（x）的圖象如圖所示，f（x）=lnx-h（x）．
（1）求函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（

1

2

，m+

1

4

）上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若函數(shù)y=2x-ln x（x∈[1，4]）的圖象總在函數(shù)y=f（x）的圖象的上方，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由導函數(shù)y=h′（x）的圖象過點A，B，可求出h′（x），從而可求出f′（x），f′（1），即所求斜率；
（2）利用導數(shù)求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，則區(qū)間（

1

2

，m+

1

4

）為其一單調(diào)區(qū)間的子集，由此可解；
（3）函數(shù)y=2x-ln x（x∈[1，4]）的圖象總在函數(shù)y=f（x）的圖象的上方，等價于2x-ln x＞f（x）在x∈[1，4]上恒成立，分離參數(shù)后轉化為函數(shù)最值問題處理即可．

解答：解：（1）由題知，h′（x）=2ax+b，其圖象為直線，
且過A（2，-1）、B（0，3）兩點，
∴

4a+b=-1 b=3

，解得

a=-1 b=3

．
∴h（x）=-x²+3x+c．∴f（x）=ln x-（-x²+3x+c）=x²-3x-c+ln x．
∴f′（x）=2x-3+

1

x

，∴f′（1）=2-3+

1

1

=0，
所以函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率為0．
（2）由題意可知，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
由（1）知，f′（x）=2x-3+

1

x

=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

．
令f′（x）=0，得x=

1

2

或x=1．
當x變化時，f（x）、f′（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	?↗	極大值	?↘	極小值	?↗

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，

1

2

），（1，+∞）；f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（

1

2

，1）．
要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（

1

2

，m+

1

4

）上是單調(diào)函數(shù)，
則

1 2 ＜m+ 1 4 m+ 1 4 ≤1

，解得

1

4

＜m≤

3

4

．
故實數(shù)m的取值范圍是（

1

4

，

3

4

]．
（3）由題意可知，2x-lnx＞x²-3x-c+lnx在x∈[1，4]上恒成立，
即當x∈[1，4]時，c＞x²-5x+2lnx恒成立．
設g（x）=x²-5x+2lnx，x∈[1，4]，則c＞g（x）_max．易知g′（x）=2x-5+

2

x

．令g′（x）=0得，x=

1

2

或x=2．
當x∈（1，2）時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；當x∈（2，4）時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增．
而g（1）=1²-5×1+2ln 1=-4，g（4）=4²-5×4+2ln 4=-4+4ln 2，
顯然g（1）＜g（4），故函數(shù)g（x）在[1，4]上的最大值為g（4）=-4+4ln 2，故c＞-4+4ln 2．
∴c的取值范圍為（-4+4ln 2，+∞）．

點評：本題考查了導數(shù)的幾何意義及導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，注意不等式恒成立的等價表述方式，解決不等式恒成立常轉化為函數(shù)最值問題解決．