Question

 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．

從數(shù)列中取出部分項，并將它們按原來的順序組成一個數(shù)列，稱之為數(shù)列的一個子數(shù)列．

     設數(shù)列是一個首項為、公差為的無窮等差數(shù)列．

（1）若，，成等比數(shù)列，求其公比．

（2）若，從數(shù)列中取出第2項、第6項作為一個等比數(shù)列的第1項、第2項，試問該數(shù)列是否為的無窮等比子數(shù)列，請說明理由．

（3）若，從數(shù)列中取出第1項、第項（設）作為一個等比數(shù)列的第1項、第2項．求證：當為大于1的正整數(shù)時，該數(shù)列為的無窮等比子數(shù)列．

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

（1）解：由題設，得，即，得，又，于是，故其公比．

（2）解：設等比數(shù)列為，其公比，，（6分）

由題設．

假設數(shù)列為的無窮等比子數(shù)列，則對任意自然數(shù)，都存在，使，

即，得，（8分）

當時，，與假設矛盾，

故該數(shù)列不為的無窮等比子數(shù)列．

（3）即證明無窮等比數(shù)列中的每一項均為數(shù)列中的項．

在等比數(shù)列中，，（12分）

在等差數(shù)列中，，，（14分）

若為數(shù)列中的第項，則由，得，

整理得，（16分）

由，均為正整數(shù)，得也為正整數(shù)，

故無窮等比數(shù)列中的每一項均為數(shù)列中的項，得證．