Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2+x，g（x）=2a²lnx+（a+1）x．
（1）求過點（2，4）與曲線y=f（x）相切的切線方程；
（2）如果函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)存在導(dǎo)數(shù)為零的點，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)h（x）=f（x）-g（x），求函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先求出f′（x），欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=2處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，從而問題解決．
（2）先求出導(dǎo)數(shù)g′(x)=

2a2

x

+(a+1)，若g'（x）=0，解得x=-

2a2

a+1

利用x＞0即可實數(shù)a的取值范圍；
（3）先求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，在定義域下令導(dǎo)函數(shù)大于0得到函數(shù)的遞增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0得到函數(shù)的遞減區(qū)間．

解答：解：（1）f'（x）=x+1，∵點（2，4）在曲線上，∴k=f'（2）=3
∴所求的切線方程為y-4=3（x-2），即y=3x-2…（3分）
（2）g′(x)=

2a2

x

+(a+1)
若g'（x）=0，則x=-

2a2

a+1

．
∵x=-

2a2

a+1

＞0，∴a＜-1．                             …（6分）
（3）h(x)=

1

2

x2+x-2a2lnx-(a+1)x=

1

2

x2-2a2lnx-ax(x＞0)h′(x)=x-

2a2

x

-a=

x2-ax-2a2

x

≥0
即

(x-2a)(x+a)

x

≥0…（11分）
當(dāng)a＞0時，單調(diào)遞增區(qū)間為[2a，+∞）
當(dāng)a=0時，單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）
當(dāng)a＜0時，單調(diào)遞增區(qū)間為[-a，+∞）…（14分）

點評：本小題主要考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)該先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0得到函數(shù)的遞增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0得到函數(shù)的遞減區(qū)間．