Question

已知離心率為

3

2

的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)F的最長(zhǎng)距離為

3

+2．
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB，若點(diǎn)M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內(nèi)角平分線(xiàn)，則稱(chēng)點(diǎn)M為該橢圓的“左特征點(diǎn)”，求橢圓的“左特征點(diǎn)”M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)離心率為

3

2

，其上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)F的最長(zhǎng)距離為

3

+2，可建立方程組，即可求得橢圓的方程；
（2）設(shè)M（m，0）為橢圓的左特征點(diǎn)，根據(jù)橢圓左焦點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)AB方程代入橢圓方程，由∠AMB被x軸平分，k_AM+k_BM=0，利用韋達(dá)定理，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由題意知

a+c= 3 +2 c a = 3 2

，∴a=2，c=

3

，∴b=

a2-c2

=1
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2 =1；
（2）設(shè)M（m，0）為橢圓

x2

4

+y2 =1的左特征點(diǎn)，橢圓的左焦點(diǎn)F（-

3

，0），
可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x=ky-

3

（k≠0）
代入

x2

4

+y2 =1，得：（ky-

3

）y²+4y2=4，即（k²+4）y²-2

3

ky-1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）得y₁+y₂=

2 3 k

k2+4

，y₁y₂=-

1

k2+4

∵∠AMB被x軸平分，k_AM+k_BM=0，即

y1

x1-m

+

y2

x2-m

=0，
即y₁（ky₂-

3

）+y₂（ky₁-

3

）-（y₁+y₂）m=0
所以，2ky₁y₂-（y₁+y₂）（m+

3

）=0
于是，2k×（-

1

k2+4

）-

2 3 k

k2+4

×（m+

3

）=0
∵k≠0，∴1+

3

（m+

3

）=0，即m=-

4 3

3

，∴M（-

4 3

3

，0）

點(diǎn)評(píng)：本題以新定義為載體主要考查了橢圓性質(zhì)的應(yīng)用，直線(xiàn)與橢圓相交關(guān)系的處理，要注意解題中直線(xiàn)AB得方程設(shè)為x=ky-2（k≠0）的好處在于避免討論直線(xiàn)的斜率是否存在．