Question

【題目】如圖，已知橢圓過點(diǎn)兩個(gè)焦點(diǎn)為和.圓O的方程為.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過且斜率為的動(dòng)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，與圓O交于P、Q兩點(diǎn)（點(diǎn)A、P在x軸上方），當(dāng)成等差數(shù)列時(shí)，求弦PQ的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求出，設(shè)橢圓的方程為，將點(diǎn)代入，解得，然后求解橢圓的方程．

（2）由橢圓定義，，，通過，，成等差數(shù)列，推出． 設(shè)，，通過解得，然后求解直線方程，推出弦的長(zhǎng)即可．

（1）由題意，，

設(shè)橢圓C的方程為，將點(diǎn)代入，

解得或（舍去），

所以，橢圓C的方程為.

（2）由橢圓定義，，兩式相加，得

，因?yàn)?/span>成等差數(shù)列，

所以，

于是，即.

設(shè)，由解得，

所以，，直線l的方程為，

即，

圓O的方程為，圓心O到直線l的距離，

此時(shí)，弦PQ的長(zhǎng).