Question

【題目】如圖，已知橢圓C1的中心在原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸左、右端點(diǎn)M、N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1、C2的離心率都為e，直線l⊥MN，l與C1交于兩點(diǎn)，與C2交于兩點(diǎn)，這四點(diǎn)縱坐標(biāo)從大到小依次為A、B、C、D．

（1）設(shè) ，求|BC|與|AD|的比值；
（2）若存在直線l，使得BO∥AN，求橢圓離心率e的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因?yàn)镃1、C2的離心率相同，

故依題意可設(shè) ．

設(shè)直線l：x=t（|t|＜a）分別和C1、C2的方程聯(lián)立，

求得 ．

當(dāng) 時(shí)， ，分別用yA、yB表示A、B的縱坐標(biāo)，

∴ ．

|BC|與|AD|的比值

（2）

解：t=0時(shí)的l不符合題意，t≠0時(shí)，BO∥AN，當(dāng)且僅當(dāng)BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等，

即： ，解得 ．

因?yàn)閨t|＜a，又0＜e＜1，

所以 ，解得 ．

∴當(dāng) 時(shí)，存在直線l，使得BO∥AN，即離心率e的取值范圍是 ，

∴橢圓離心率e的取值范圍

【解析】（1）由題意設(shè)橢圓方程，聯(lián)立即可求得A和B坐標(biāo)，當(dāng) 時(shí)， ，分別用yA、yB表示A、B的縱坐標(biāo)， ；（2）分類，當(dāng)t=0時(shí)的l不符合題意，當(dāng)t≠0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等，根據(jù)斜率公式求得t，由 ，即可橢圓離心率e的取值范圍．