Question

已知向量

OP

=(cosx，-sinx)，

OQ

=(

3

sinx，sinx)，定義函數(shù)f(x)=

OP

•

OQ

．
（1）求f（x）的最小正周期、最大值及相應(yīng)的x值；
（2）當(dāng)x∈[0，π]且

OP

⊥

OQ

時(shí)，求x的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

OP

=(cosx，-sinx)，

OQ

=(

3

sinx，sinx)，代入向量數(shù)量積公式，進(jìn)而根據(jù)倍角公式和和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出A，B及ω值后，可得f（x）的最小正周期、最大值及相應(yīng)的x值；
（2）當(dāng)x∈[0，π]且

OP

⊥

OQ

時(shí)，sin(2x+

π

6

)-

1

2

=0，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，可得答案．

解答：解：（1）∵f(x)=

OP

•

OQ

=

3

sinxcosx-sin2x…（2分）
=

3

2

sin2x-

1-cos2x

2

…（4分）
=sin(2x+

π

6

)-

1

2

…（5分）
∴ω=2，T=|

2π

ω

|=π…（6分）
當(dāng)x=kπ+

π

6

，k∈Z時(shí)，…（7分），f（x）取最大值

1

2

． …（8分）
（2）當(dāng)

OP

⊥

OQ

時(shí)，f（x）=0，
即sin(2x+

π

6

)-

1

2

=0．…（10分）
又x∈[0，π]，
所以解得x=0或x=

π

3

或x=π． …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題是平面向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．