Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-cos²x-4tsin

x

2

cos

x

2

+4t³+t²-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，將f（x）的最小值記為g（t）．
（1）求g（t）的表達(dá)式；
（2）對于區(qū)間[-1，1]中的某個(gè)t，是否存在實(shí)數(shù)a，使得不等式g（t）≤

4a

1+a2

成立？如果存在，求出這樣的a及其對應(yīng)的t；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)換公式化簡f（x），在用配方法得出函數(shù)的最簡式，即可得出函數(shù)g（x）的表達(dá)式
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，畫出表格判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的最值，g（t）≤

4a

1+a2

成立，即

4a

1+a2

≥g（t）的最大值，求出a的范圍．

解答：解：（1）f(x)=-cos2x-4tsin

x

2

cos

x

2

+4t3+t2-3t+4=sin²x-1-2tsinx+4t³+t²-3t+4=sin²x-2tsinx+t²+4t³-3t+3=（sinx-t）²+4t³-3t+3．
由（sinx-t）2≥0，|t|≤1，故當(dāng)sinx=t時(shí)，f（x）有最小值g（t），即
g（t）=4t3-3t+3．
（2）我們有g(shù)'（t）=12t²-3=3（2t+1）（2t-1），-1＜t＜1．
列表如下：

t	（-1，- 1 2 ）	- 1 2	（- 1 2 ， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，1）
g'（t）	+	0	-	0	+
G（t）	↗	極大值g（- 1 2 ）	↘	極小值g（ 1 2 ）	↗

由此可見，g（t）在區(qū)間（-1，-

1

2

）和（

1

2

，1）單調(diào)增加，在區(qū)間（-

1

2

，

1

2

）單調(diào)減小，極小值為g（

1

2

）=2，
又g（-1）=-4-（-3）+3=2
故g（t）在[-1，1]上的最小值為2
注意到：對任意的實(shí)數(shù)a，

4a

1+a2

=

4

a+ 1 a

∈[-2，2]
當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，

4a

1+a2

=2，對應(yīng)的t=-1或

1

2

，
故當(dāng)t=-1或

1

2

時(shí)，這樣的a存在，且a=1，使得g（t）≥

4a

1+a2

成立．
而當(dāng)t∈（-1，1]且t≠

1

2

時(shí)，這樣的a不存在．

點(diǎn)評：該題考查函數(shù)的求導(dǎo)，以及利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求出函數(shù)的最值，還考查了三角函數(shù)的公式的利用，以及恒成立問題．