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        1. 如圖,點(diǎn)F是橢圓的左焦點(diǎn),A、B是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn),橢圓的離心率為.點(diǎn)C在x軸上,BC⊥BF,且B、C、F三點(diǎn)確定的圓M恰好與直線(xiàn)相切.
          (Ⅰ)求橢圓的方程;
          (Ⅱ)過(guò)F作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線(xiàn)l交橢圓于P、Q兩點(diǎn),在x軸上是否存在定點(diǎn)N,使得NF恰好為△PNQ的內(nèi)角平分線(xiàn),若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
          【答案】分析:(Ⅰ)從=著手分析a、b、c之間的關(guān)系,再結(jié)合條件BC⊥BF,且B、C、F三點(diǎn)確定的圓M恰好與直線(xiàn)相切,可求得a,從而可求得橢圓的方程;
          (Ⅱ)假設(shè)在x軸上是否存在定點(diǎn)N,使得NF恰好為△PNQ的內(nèi)角平分線(xiàn),利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理得:=,再結(jié)合橢圓的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可.
          解答:解:(Ⅰ)∵=
          ∴c=a,b==a,
          又F(-c,0),B(0,b),在直角三角形BFO中,tan∠BFO===,
          ∴∠BFO=.|BF|=a.
          ∵BC⊥BF,
          ∴∠BCF=,
          ∴|CF|=2a.
          ∴B、C、F三點(diǎn)確定的圓M的圓心M的坐標(biāo)為:(,0),半徑r=a;
          又圓M與直線(xiàn)相切,
          ∴圓心M到直線(xiàn)x+y+3=0的距離等于r,即=a,又a>0,
          ∴a=2,
          ∴b=
          ∴橢圓的方程為:
          (Ⅱ)假設(shè)在x軸上是否存在定點(diǎn)N,使得NF恰好為△PNQ的內(nèi)角平分線(xiàn),
          則由角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理得:=,又|PF|+|PN|=2a=4,|QF|+|QN|=2a=4,
          =,
          ∴|PF|=|QF|,即F為PQ的中點(diǎn),
          ∴PQ⊥x軸,這與已知“過(guò)F作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線(xiàn)l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)”矛盾,
          ∴假設(shè)不成立,即在x軸上不存在定點(diǎn)N,使得NF恰好為△PNQ的內(nèi)角平分線(xiàn).
          點(diǎn)評(píng):本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題,求橢圓的方程,關(guān)鍵在于根據(jù)題意從角入手分析出a、b、c之間的關(guān)系,難點(diǎn)在于(Ⅱ)中橢圓定義的靈活應(yīng)用,屬于難題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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             (2)若過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)與橢圓相交于不同兩點(diǎn)A、B求證:∠AFM=∠BFN;

             (3)求三角形ABF面積的最大值。

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          (Ⅰ)求橢圓的方程;
          (Ⅱ)過(guò)F作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線(xiàn)l交橢圓于P、Q兩點(diǎn),在x軸上是否存在定點(diǎn)N,使得NF恰好為△PNQ的內(nèi)角平分線(xiàn),若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          如圖,點(diǎn)F是橢圓的左焦點(diǎn),A、B是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn),橢圓的離心率為.點(diǎn)C在x軸上,BC⊥BF,且B、C、F三點(diǎn)確定的圓M恰好與直線(xiàn)相切.
          (Ⅰ)求橢圓的方程;
          (Ⅱ)過(guò)F作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線(xiàn)l交橢圓于P、Q兩點(diǎn),在x軸上是否存在定點(diǎn)N,使得NF恰好為△PNQ的內(nèi)角平分線(xiàn),若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012年湖北省天門(mén)市岳口高中高考數(shù)學(xué)沖刺試卷3(理科)(解析版) 題型:解答題

          如圖,設(shè)F是橢圓的左焦點(diǎn),直線(xiàn)l為對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn),直線(xiàn)l與x軸交于P點(diǎn),線(xiàn)段MN為橢圓的長(zhǎng)軸,已知|MN|=8,且|PM|=2|MF|.
          (Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
          (Ⅱ)求證:對(duì)于任意的割線(xiàn)PAB,恒有∠AFM=∠BFN;
          (Ⅲ)求三角形△ABF面積的最大值.

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