Question

如圖，點(diǎn)F是橢圓的左焦點(diǎn)，A、B是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的離心率為．點(diǎn)C在x軸上，BC⊥BF，且B、C、F三點(diǎn)確定的圓M恰好與直線相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過(guò)F作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)N，使得NF恰好為△PNQ的內(nèi)角平分線，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）從=著手分析a、b、c之間的關(guān)系，再結(jié)合條件BC⊥BF，且B、C、F三點(diǎn)確定的圓M恰好與直線相切，可求得a，從而可求得橢圓的方程；
（Ⅱ）假設(shè)在x軸上是否存在定點(diǎn)N，使得NF恰好為△PNQ的內(nèi)角平分線，利用角平分線的性質(zhì)定理得：=，再結(jié)合橢圓的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可．
解答：解：（Ⅰ）∵=，
∴c=a，b==a，
又F（-c，0），B（0，b），在直角三角形BFO中，tan∠BFO===，
∴∠BFO=．|BF|=a．
∵BC⊥BF，
∴∠BCF=，
∴|CF|=2a．
∴B、C、F三點(diǎn)確定的圓M的圓心M的坐標(biāo)為：（，0），半徑r=a；
又圓M與直線相切，
∴圓心M到直線x+y+3=0的距離等于r，即=a，又a＞0，
∴a=2，
∴b=．
∴橢圓的方程為：．
（Ⅱ）假設(shè)在x軸上是否存在定點(diǎn)N，使得NF恰好為△PNQ的內(nèi)角平分線，
則由角平分線的性質(zhì)定理得：=，又|PF|+|PN|=2a=4，|QF|+|QN|=2a=4，
∴=，
∴|PF|=|QF|，即F為PQ的中點(diǎn)，
∴PQ⊥x軸，這與已知“過(guò)F作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)”矛盾，
∴假設(shè)不成立，即在x軸上不存在定點(diǎn)N，使得NF恰好為△PNQ的內(nèi)角平分線．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，求橢圓的方程，關(guān)鍵在于根據(jù)題意從角入手分析出a、b、c之間的關(guān)系，難點(diǎn)在于（Ⅱ）中橢圓定義的靈活應(yīng)用，屬于難題．