Question

已知函數(shù)f（x）=3x⁴-8x³-18x²+a．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值為6，求f（x）在該區(qū)間上的最小值．

Answer 1

分析：（1）f'（x）=12x³-24x²-36x=12x（x+1）（x-3），由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞區(qū)間．
（2）由（1）知f（x）在[-1，0]單調(diào)遞增，在[0，1]單調(diào)遞減．故f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值為f（0）=a，由已知a=6，于是f（x）=3x⁴-8x³-18x²+6，由此能求出f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值．

解答：解：（1）f'（x）=12x³-24x²-36x=12x（x+1）（x-3）．…（2分）
由f'（x）＞0，得-1＜x＜0或x＞3；
由f'（x）＜0，得x＜-1或0＜x＜3．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0）和（3，+∞）；
單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1）和（0，3）．…（6分）
（2）由（1）知f（x）在[-1，0]單調(diào)遞增，在[0，1]單調(diào)遞減．
∴f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值為f（0）=a，
由已知a=6…（8分）
于是f（x）=3x⁴-8x³-18x²+6，
由于f（-1）=-1，f（1）=-17，
故f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值為-17…（12分）

點評：本題考查函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間的求法，求f（x）在已知區(qū)間上的最小值．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．