Question

如圖所示，直角梯形ACDE與等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F(xiàn)為BC的中點，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求AC與平面EBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）取BD的中點P，連接EP，F(xiàn)P，則利用中位線的性質(zhì)，可知四邊形AFPE是平行四邊形，由此能夠證明AF∥面BDE．
（Ⅱ）利用等體積，求出A到平面EBC的距離為d，即可求得AC與平面EBC所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）證明：取BD的中點P，連接EP、FP，則FP∥

1

2

DC且FP=

1

2

DC，
又∵EA∥

1

2

DC且EA∥

1

2

DC，∴EA∥FP且EA=FP，
∴四邊形AFPE是平行四邊形，∴AF∥EP，
又∵EP?面BDE且AF?面BDE，
∴AF∥面BDE．
（Ⅱ）解：過A作AH⊥平面EBC，連接HB，則∠ABH為AC與平面EBC所成角
設(shè)A到平面EBC的距離為d，則
在△EBC中，EC=EB=

5

，BC=2

2

，∴S△EBC=

1

2

×2

2

×

3

=

6

由V_E-ABC=V_A-EBC可得

1

3

×

1

2

×2×2×1=

1

3

×

6

d
∴d=

6

3

∴AC與平面EBC所成角的正弦值為

6 3

2

=

6

6

．

點評：本題考查線面平行，考查線面角，掌握線面平行的判定方法，正確求出點到面的距離是關(guān)鍵．