Question

如圖所示,在直角梯形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,CD=DA=a,AB=2a,SA⊥平面ABCD,且SA=a,

(1)求證:△SAD、△SAB、△SDC、△SCB都是直角三角形;

(2)在SD上取點(diǎn)M,SC交平面ABM于N,求證:四邊形ABNM是直角梯形;

(3)若SM=x,寫出BM=f(x)的表達(dá)式,并求當(dāng)x為何值時(shí),BM最小?最小值是多少?

Answer 1

(1)證明:∵SA⊥平面ABCD,∴SA⊥AD,SA⊥AB.

∴△SAD、△SAB是直角三角形.

又CD⊥AD,

∴CD⊥SD(三垂線定理).

故△SDC是直角三角形.

在Rt△SAD中, ;

在Rt△SDC中,;

在Rt△SAB中,.

在直角梯形ABCD中,

.

∴SC²+BC²=SB²,故△SCB是直角三角形.

(2)證明:∵CD∥AB,∴CD∥平面ABNM.

又CD平面SCD,且平面SCD∩平面ABNM=MN,

∴CD∥MN.∴AB∥MN.

又MN＜CD＜AB,

∴四邊形ABNM為梯形.

∵AB⊥SA,AB⊥AD,

∴AB⊥平面SAD.∴AB⊥AM.

故四邊形ABNM為直角梯形.

(3)解:在△SAM中,∠ASM=45°,SA=a,SM=x,

由余弦定理得AM²=x²+a²-2axcos45°=x²+a²-.

在Rt△BAM中,,

∴當(dāng)x=時(shí),BM_min=,

即當(dāng)x為時(shí),BM最小,最小值為.