Question

已知拋物線C₁：y=x²，橢圓C₂：x²+=1．
（1）設(shè)l₁，l₂是C₁的任意兩條互相垂直的切線，并設(shè)l₁∩l₂=M，證明：點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值；
（2）在C₁上是否存在點(diǎn)P，使得C₁在點(diǎn)P處切線與C₂相交于兩點(diǎn)A、B，且AB的中垂線恰為C₁的切線？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導(dǎo)，設(shè)切點(diǎn)分別為（x₁，x₁²），（x₂，x₂²），求出直線l₁，l₂的方程，根據(jù)l₁⊥l₂可得結(jié)果；
（2）設(shè)P（x，x²），寫出C₁在點(diǎn)P處切線方程，聯(lián)立它與橢圓的方程，消去y，得到關(guān)于x一元二次方程，△＞0，利用韋達(dá)定理和（1）的結(jié)論即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）y′=2x，
設(shè)切點(diǎn)分別為（x₁，x₁²），（x₂，x₂²）
則l₁方程為y-x₁²=2x₁（x-x₁）
即y=2x₁x-x₁² ①
l₂方程為y=2x₂x-x₂² ②
由l₁⊥l₂得2x₁2x₂=-1
即
所以，
即點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值．
（2）設(shè)P（x，x²），
則C₁在點(diǎn)P處切線方程為：y=2xx-x²
代入C₂方程4x²+y²-4=0
得4x²+（2xx-x²）-4=0
即（4+4x²）x²-4x³x+x⁴-4=0
設(shè)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
則
△=16x⁶-16（1+x²）（x⁴-4）=16（4+4x²-x⁴）＞0   ③
由（1）知
從而，
即
進(jìn)而得
解得，且滿足③
所以這樣點(diǎn)P存在，其坐標(biāo)為．
點(diǎn)評：此題是個難題．本題考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，以及利用導(dǎo)數(shù)研究拋物線的切線方程，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力．其中問題（2）是一個開放性問題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力，