Question

【題目】如圖，已知拋物線，為的焦點，為準線，且與軸的交點為.過點任意作一條直線交拋物線于兩點.

（1）若 ,求證：;

（2）設為線段的中點，為奇質(zhì)數(shù)，且點到軸的距離和點到準線的距離均為非零整數(shù).求證：點到坐標原點的距離不可能是整數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）點的坐標為，設過點的直線方程為.代入，得 ①

設，則、是方程①的兩個根，有，.

由，得.

因為

又 ，，，所以

.

故.

（2）設.依題意均為非零整數(shù).

由對稱性，不妨設，則. ②

因為點在線段上，所以

. ③

由式②、③消去，得

④

假設為正整數(shù)，則

⑤

因為為奇質(zhì)數(shù)，由式④知，，從而.

于是，由式⑤知.

令，， ，則

.

消去，得，即

.

又與有相同的奇偶性，且，所以，

解得，.

從而，.于是，，這與為正整數(shù)矛盾.

故點到坐標原點的距離不可能是整數(shù).