Question

如圖：是y=f（x）=x³﹣2x²+3a²x的導(dǎo)函數(shù)y=f'（x）的簡(jiǎn)圖，它與x軸的交點(diǎn)是（1，0）和（3，0）

（1）求y=f（x）的極小值點(diǎn)和單調(diào)減區(qū)間

（2）求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．

專題：

導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．

分析：

（1）先利用其導(dǎo)函數(shù)f'（x）圖象，判斷導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)來(lái)求其單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得其極值．（注意是在定義域內(nèi)研究其單調(diào)性）

（2）由圖知，f'（1）=0且f'（3）=0，代入導(dǎo)函數(shù)解析式得到關(guān)于a的方程，解出即可．

解答：

解：（1）由f（x）=x³﹣2x²+3a²x的導(dǎo)函數(shù)y=f'（x）的圖象可知：導(dǎo)函數(shù)f'（x）小于0的解集是（1，3）；

函數(shù)f（x）=x³﹣2x²+3a²x在x=1，x=3處取得極值，且在x=3的左側(cè)導(dǎo)數(shù)為負(fù)右側(cè)導(dǎo)數(shù)為正．

即函數(shù)在x=3處取得極小值，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（1，3）．

（2）由于f（x）=x³﹣2x²+3a²x的導(dǎo)函數(shù)f'（x）=ax²﹣4x+3a²，又由（1）知，f'（1）=0且f'（3）=0

則解得 a=1．

則實(shí)數(shù)a的值為1．

點(diǎn)評(píng)：

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問(wèn)題，是函數(shù)這一章最基本的知識(shí)，也是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生應(yīng)熟練掌握．