Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．點(diǎn)E、F分別在邊CD、CB上，點(diǎn)E與點(diǎn)C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．
（1）求證：BD⊥平面POA；
（2）設(shè)點(diǎn)Q滿足 ，試探究：當(dāng)PB取得最小值時(shí)，直線OQ與平面PBD所成角的大小是否一定大于 ？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵菱形ABCD的對(duì)角線互相垂直，∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，

∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．

∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO平面PEF，

∴PO⊥平面ABFED，

∵BD平面ABFED，∴PO⊥BD．

∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA

（2）解：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．

設(shè)AO∩BD=H．因?yàn)椤螪AB=60°，所以△BDC為等邊三角形，

故BD=4， ．

又設(shè)PO=x，則 ， ，

所以O(shè)（0，0，0），P（0，0，x）， ， ，

故 ，

所以 ，

當(dāng) 時(shí)， ．此時(shí)

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，0，c），由（1）知， ，則 ， ， ， ．

∴ ， ，

∵ ，∴ ．

∴ ，∴ ．

設(shè)平面PBD的法向量為 ，則 ．

∵ ， ，∴

取x=1，解得：y=0，z=1，所以 ．

設(shè)直線OQ與平面E所成的角θ，

∴ = ．

又∵λ＞0∴ ．∵ ，∴ ．

因此直線OQ與平面E所成的角大于 ，即結(jié)論成立．

【解析】（1）利用菱形ABCD的對(duì)角線互相垂直證明BD⊥AO，證明PO⊥平面ABFED，可得PO⊥BD，利用線面垂直的判定，可得 BD⊥平面POA；（2）建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，設(shè)PO=x，求出 時(shí)， ，此時(shí) ，進(jìn)一步求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，求出平面PBD的法向量 ，利用向量的夾角公式，可證直線OQ與平面E所成的角大于 ．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，以及對(duì)空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．