Question

【題目】設(shè)A、B為拋物線C：上兩點(diǎn)，A與B的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，直線AB的斜率為1．

（Ⅰ）求拋物線C的方程；

（Ⅱ）直線 交x軸于點(diǎn)M，交拋物線C：于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，連結(jié)ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H．除H以外，直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）見(jiàn)解析.

【解析】

（Ⅰ）設(shè) ，直線的斜率為1，又因?yàn)?/span>都在曲線上 ， ,結(jié)合利用點(diǎn)差法可得p = 2，從而可得結(jié)果；（Ⅱ）求得點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，， 從而可得直線的方程為，聯(lián)立方程解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得直線的方程為，聯(lián)立方程，整理得，由，可得結(jié)論．

（Ⅰ）設(shè) ，AB 直線的斜率為1，又因?yàn)?/span>A，B都在曲線C上，

所以 ① ②

-得,

由已知條件得，得p = 2，所以拋物線C的方程是．

（Ⅱ）由題意，可知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，

從而可得直線的方程為，聯(lián)立方程，

解得． 依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于，，可得直線的方程為，

聯(lián)立方程，整理得，

則，從而可知和只有一個(gè)公共點(diǎn)．