Question

已知向量

a

=（sinθ，2），

b

=（cosθ，1），且

a

∥

b

，其中θ∈(0，

π

2

)．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若sin(θ-ω)=

3

5

，0＜ω＜

π

2

，求cosω的值．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)向量的平行，推出sinθ=2cosθ，根據(jù)θ的范圍，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，直接求sinθ和cosθ的值；
（2）根據(jù)sin(θ-ω)=

3

5

，0＜ω＜

π

2

，θ∈(0，

π

2

)，求出sin(θ-ω)=

3

5

，結(jié)合cosω=cos[θ-（θ-ω）]展開(kāi)，即可求cosω的值．

解答：（1）解：∵向量

a

=（sinθ，2），

b

=（cosθ，1），且

a

∥

b

，
∴

sinθ

2

=

cosθ

1

，即sinθ=2cosθ．
∵sin²θ+cos²θ=1，θ∈(0，

π

2

)，
解得sinθ=

2 5

5

，cosθ=

5

5

，
∴sinθ=

2 5

5

，cosθ=

5

5

．
（2）解：∵0＜ω＜

π

2

，θ∈(0，

π

2

)，∴-

π

2

＜θ-ω＜

π

2

．
∵sin(θ-ω)=

3

5

，
∴cos(θ-ω)=

1-sin2(θ-ω)

=

4

5

．
∴cosω=cos[θ-（θ-ω）]=cosθcos（θ-ω）+sinθsin（θ-ω）=

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，向量平行的應(yīng)用，注意角的范圍三角函數(shù)的符號(hào)，函數(shù)值的確定，角的變換的技巧，考查計(jì)算能力，常考題型．