Question

【題目】已知為坐標(biāo)原點，橢圓：的左、右焦點分別為，右頂點為,上頂點為, 若成等比數(shù)列，橢圓上的點到焦點的最短距離為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)為直線上任意一點，過的直線交橢圓于點，且，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）利用已知條件，算出，再由，求出，寫出橢圓方程；（2）得,設(shè),直線的方程為,聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程, 消去,根據(jù)韋達(dá)定理,求出的表達(dá)式,利用基本不等式求出最小值．

試題解析：解：（1）易知，， ①

而 ②

又，得，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）由（1）知，∵，故，設(shè)，

∴，直線的斜率為，

當(dāng)時，直線的斜率為，直線的方程為；

當(dāng)時，直線的方程為，也符合方程．

設(shè)，，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，得消去，得：，，，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．

∴的最小值為．