Question

某高校最近出臺(tái)一項(xiàng)英語(yǔ)等級(jí)考試規(guī)定；每位考試者兩年之內(nèi)最多有4次參加考試的機(jī)會(huì)，一旦某次考試通過(guò)，便可領(lǐng)取證書，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止．如果小明決定參加等級(jí)考試，設(shè)他每次參加考試通過(guò)的概率依次為0.5，0.6，0.7，0.9，
（1）求小明在兩年內(nèi)領(lǐng)到證書的概率；
（2）求在兩年內(nèi)小明參加英語(yǔ)等級(jí)考試次數(shù)ξ的分布列和ξ的期望．

Answer 1

解：（1）小明在兩年內(nèi)領(lǐng)到證書的概率為P=1-（1-0.5）（1-0.6）（1-0.7）（1-0.9）=0.994．
（2）ξ的取值分別為1，2，3，4．
ξ=1，表明小明第一次參加英語(yǔ)等級(jí)考試就通過(guò)了，
故P（ξ=1）=0.5．
ξ=2，表明小明在第一次考試未通過(guò)，第二次通過(guò)了，
故P（ξ=2）=（1-0.5）×0.6=0.30
過(guò)，第三次通過(guò)了，故
P（ξ=3）=（1-0.5）×（1-0.6）×0.7=0.14
P（ξ=4=（1-0.5）×（1-0.6）×（1-0.7）=0.06
試次數(shù)ξ的分布列為：

∴ξ的期望Eξ=1×0.5+2×0.30+3×0.14+4×0.06=1.76．
分析：（1）小明在兩年內(nèi)領(lǐng)到證書的概率，等于1減去它的對(duì)立事件的概率．其對(duì)立事件為：小明在兩年內(nèi)的4此考試中都沒(méi)有
通過(guò)，概率為 （1-0.5）（1-0.6）（1-0.7）（1-0.9）．
（2）ξ的取值分別為1，2，3，4．再求出ξ取每個(gè)值的概率，即得試次數(shù)ξ的分布列，再由分布列求ξ 的期望Eξ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，以及隨即變量ξ的期望的計(jì)算公式的應(yīng)用．