Question

設(shè)銳角△ABC中，角ABC對邊分別為a、b、c，且b=2asinB
（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由b=2asinB結(jié)合正弦定理可得sinB=2sinAsinB可求sinA，進而可求A
（2）由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=b2+c2-

3

bc≥2bc-

3

bc，從而可得bc的范圍，代入面積公式S△ABC=

1

2

bcsinA可求△ABC面積最大值

解答：解：（1）∵b=2asinB
∴sinB=2sinAsinB
得：sinA= 

1

2

   即A=

π

6

（2）∵a²=b²+c²-2bccosA=b2+c2-

3

bc≥2bc-

3

bc
∴bc≤

4

2- 3

=4(2+

3

)
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=

6

+ 

2

時取等號
S△ABC=

1

2

bcsinA≤

1

2

×4(2+

3

)×

1

2

=2+

3

即△ABC面積最大值為2+

3

（當(dāng)且僅當(dāng)b=c=

2

+

6

時取等號）

點評：本題主要考查了正弦定理與余弦定理及三角形的面積公式的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用了基本不等式．