Question

【題目】設(shè)函數(shù)（其中）．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)函數(shù)在定義域上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

【解析】試題分析：（1）由題意得函數(shù)函數(shù)的定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再對(duì)進(jìn)行分類討論，根據(jù)與，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）依題意得，結(jié)合第一問的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖象，從兩個(gè)方面考慮函數(shù)的變化趨勢(shì)，或時(shí)，從而可得零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，

①當(dāng)時(shí)，令，解得.

∴的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，

②當(dāng)時(shí)，令，解得或.

∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

③當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.

④當(dāng)時(shí)，令，解得或，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2），①當(dāng)時(shí)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，.

又∵在上單調(diào)遞增

∴在上有唯一的零點(diǎn)

∴函數(shù)在定義域上有唯一的零點(diǎn)，

②當(dāng)時(shí)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，.

令，則，

∵在上單調(diào)遞增，，

∴在上單調(diào)遞增，得，即.

∴在上有唯一的零點(diǎn)，故函數(shù)在定義域上有唯一的零點(diǎn)．

綜合①②知，當(dāng)時(shí)函數(shù)在定義域上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．