Question

以下給出的是用條件語(yǔ)句編寫(xiě)的程序，根據(jù)該程序回答
READ　 x
IF　　 x＜a　　THEN　 y=-x²+ax+b
ELSEy=x²-ax+b
END　 IF
PRINT　 y
END
（Ⅰ） 求證：輸入x的值互為相反數(shù)則輸出的y值也互為相反數(shù)的充要條件是a²+b²=0；
（Ⅱ） 設(shè)常數(shù)，若在[0，1]隨機(jī)輸入x，則輸出的y值為負(fù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）充分性：若a²+b²=0時(shí)，即a=b=0，所以f（x）=x|x|．∵f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），對(duì)一切x∈R恒成立，∴f（x）是奇函數(shù)；
必要性：若f（x）是奇函數(shù)，則對(duì)一切x∈R，f（-x）=-f（x）恒成立，即-x|-x-a|+b=-x|x-a|-b．
令x=0，得b=-b，所以b=0．
再令x=a，得2a|a|=0，∴a=0，即a²+b²=0．
（II）∵，∴當(dāng)x=0時(shí)，a取任意實(shí)數(shù)不等式恒成立，
故考慮．∴
對(duì)（1）式，由b＜0時(shí)，在為增函數(shù)，∴．∴a＞1+b．（3）
對(duì)（2）式，當(dāng)．
當(dāng)，∴．∴．（4）
由（3）、（4），要使a存在，必須有．
∴當(dāng)．
當(dāng)為減函數(shù)，（證明略）
綜上所述，當(dāng)的取值范圍是；
當(dāng)b＜-1時(shí)，a的取值范圍是（1+b，1-b）．
分析：（I）充要條件的證明必須分清充分性與必要性．充分性是指若a²+b²=0時(shí)，判斷f（x）是奇函數(shù)；必要性是由f（x）是奇函數(shù)，判斷a²+b²=0；
（II）由于，故當(dāng)x=0時(shí)，a取任意實(shí)數(shù)不等式恒成立，
當(dāng)．所以只需對(duì)x∈（0，1]，（1），（2）．下面只需要對(duì)（1）式，（2）式，分別研究即可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是必要條件、充分條件及充要條件的判斷，主要考查充要性的證明，關(guān)鍵是讀懂信息，搞清充分性與必要性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，有一定的難度