Question

定義在R上的奇函數(shù)f(x)=a+

1

1+4x

．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）的單調(diào)性并用定義給予證明．

Answer 1

分析：（1）由定義域?yàn)镽且是奇函數(shù)，可知f（0）=a+

1

2

=0得解．
（2）用定義證明，先在給定的區(qū)間上任取兩個(gè)變量，且界定大小，再作差變形看符號(hào)．

解答：解：（1）因?yàn)槎�義域?yàn)镽且是奇函數(shù)
∴f（0）=a+

1

2

=0
∴a=-

1

2

（2）f（x）是減函數(shù)，
∵定義域?yàn)镽，設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂
則f（x₁）-f（x2）=

4x2-4x1

(1+ 4x1)(1+4x2)

∵4x2-4x1＞0
而分母大于0恒成立，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0；
∴函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用和單調(diào)性定義在證明單調(diào)性中的應(yīng)用．要注意變形到位．