Question

已知直線x+y+m=0與圓x²+y²=2交于不同的兩點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，|

OA

+

OB

|≥|

AB

|，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)直線與圓有兩個交點(diǎn)可推斷出圓心到直線的距離小于或等于半徑，根據(jù)|

OA

+

OB

|≥|

AB

|，利用平行四邊形法則推斷出

AO

和

OB

的夾角為銳角，利用直線的斜率可推斷出其與x軸的夾角，看當(dāng)

AO

和

OB

的夾角為直角時求得原點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而可推斷出d＞1，最后綜合可得d范圍，然后過原點(diǎn)作一直線與x+y+m=0垂直，兩直線交點(diǎn)可得，進(jìn)而求得d和m的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)d的范圍求得m的范圍．

解答：解：∵直線x+y+m=0與圓x²+y²=2交于相異兩點(diǎn)A、B，
∴O點(diǎn)到直線x+y+m=0的距離d＜

2

，
又∵|

OA

+

OB

|≥|

AB

|，由平行四邊形可知，夾角為鈍角的鄰邊所對的對角線比夾角為銳角的鄰邊所對的對角線短，
∴

AO

和

OB

的夾角為銳角．
又∵直線x+y+m=0的斜率為-1，即直線與x的負(fù)半軸的夾角為45度，當(dāng)

AO

和

OB

的夾角為直角時，直線與圓交于（-

2

，0）、（0，-

2

），此時原點(diǎn)與直線的距離為1，故d＞1
綜合可知1＜d＜

2

，
過原點(diǎn)作一直線與x+y+m=0垂直，即y=x，兩直線交點(diǎn)為（-

m

2

，-

m

2

），則d=

2

2

|m|
綜上有：-2＜m＜-

2

或

2

＜m＜2
故答案為：(-2，-

2

)∪(

2

，2)

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓相交的性質(zhì)，向量的幾何意義等．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．