Question

已知函數(shù)f(x)=x2-

1

2

x+

1

4

，f′（x）為函數(shù)f（x）的導函數(shù)．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=f'（a_n）+f′（n）（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足：b₁=b，b_n+1=2f（b_n）（n∈N^*）．
（�。┊�b=

1

2

時，數(shù)列{b_n}是否為等差數(shù)列？若是，請求出數(shù)列{b_n}的通項b_n；若不是，請說明理由；
（ⅱ）當

1

2

＜b＜1時，求證：

n

i=1

1

bi

＜

2

2b-1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)．代入條件找到數(shù)列{a_n}的遞推公式，再對遞推公式利用構(gòu)造法找到一個等比數(shù)列的通項，就可求出數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（Ⅱ）（�。┫惹蟪鰯�(shù)列{b_n}的遞推公式，再把b=

1

2

代入即可證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
（ⅱ）先求出數(shù)列{b_n}的遞推公式，轉(zhuǎn)化為

1

bn

=

1

bn- 1 2

-

1

bn+1- 1 2

．再利用數(shù)學歸納法證得bn＞

1

2

，即可證得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵f′(x)=2x-

1

2

，（1分）
∴an+1=(2an-

1

2

)+(2n-

1

2

)=2an+2n-1，
即a_n+1+2（n+1）+1=2（a_n+2n+1）．（3分）
∵a₁=1，∴數(shù)列{a_n+2n+1}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列．
∴a_n+2n+1=4•2^n-1，即a_n=2ⁿ⁺¹-2n-1．（5分）
（Ⅱ）（ⅰ）∵b_n+1=2f（b_n）=2bn2-bn+

1

2

，
∴bn+1-bn=2(bn-

1

2

)2．∴當b1=

1

2

時，b2=

1

2

．
假設bk=

1

2

，則b_k+1=b_k．
由數(shù)學歸納法，得出數(shù)列{b_n}為常數(shù)數(shù)列，是等差數(shù)列，其通項為bn=

1

2

．（8分）
（ⅱ）∵bn+1=2bn2-bn+

1

2

，∴bn+1-bn=2(bn-

1

2

)2．
∴當

1

2

＜b1＜1時，b2＞b1＞

1

2

．
假設bk＞

1

2

，則bk+1＞bk＞

1

2

．
由數(shù)學歸納法，得出數(shù)列bn＞

1

2

（n=1，2，3，）．（10分）
又∵bn+1-

1

2

=2bn(bn-

1

2

)，
∴

1

bn+1- 1 2

=

1

bn- 1 2

-

1

bn

，
即

1

bn

=

1

bn- 1 2

-

1

bn+1- 1 2

．（12分）
∴

n

i=1

1

bi

=

n

i=1

(

1

bi- 1 2

-

1

bi+1- 1 2

)=

1

b1- 1 2

-

1

bn+1- 1 2

．
∵bn+1＞

1

2

，
∴

n

i=1

1

bi

＜

1

b1- 1 2

=

2

2b-1

．（14分）

點評：本題是對數(shù)列與函數(shù)的綜合以及數(shù)學歸納法的綜合考查．在數(shù)列與函數(shù)的綜合題中，一般是利用函數(shù)的單調(diào)性來研究數(shù)列的單調(diào)性，或是利用函數(shù)的導函數(shù)來研究數(shù)列．