Question

四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD為菱形，且有AB=1，AP=

2

，∠BAD=120°，E為PC中點．
（Ⅰ）證明：AC⊥面BED；
（Ⅱ）求二面角E-AB-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）因為菱形的對角線互相垂直，所以AC⊥BD，再由△PAC的中位線，得到EO∥PA，結(jié)合PA⊥面ABCD，所以EO⊥面ABCD，從而AC⊥EO．最后根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，得到AC⊥面BED；
（II）以A為原點，AD、AP所在直線分別為y軸、z軸，建立如圖所示坐標系，則可得到A、B、C、E各點的坐標，從而得到向量

AB

、

AC

、

AE

的坐標，然后利用垂直向量數(shù)量積為零的方法，分別求出平面ABE和平面ABC的一個法向量，結(jié)合空間向量的夾角公式計算出它們的夾角的余弦值．最后根據(jù)題意，二面角E-AB-C是銳二面角，得到二面角E-AB-C平面角的余弦值為余兩個法向量夾角余弦的絕對值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)O為底面ABCD的中心，連接EO，
∵底面ABCD為菱形，∴AC⊥BD
∵△PAC中，E、O分別是PC、PA的中點
∴EO∥PA
又∵PA⊥面ABCD，
∴EO⊥面ABCD
∵AC?面ABCD，∴AC⊥EO
又∵BD、EO是平面BED內(nèi)的兩條相交直線
∴AC⊥面BED（6分）
（Ⅱ）以A為原點，AD、AP所在直線分別為y軸、z軸，建立如圖所示坐標系，則可得A(0，0，0)，B(

3

2

，-

1

2

，0)，C(

3

2

，

1

2

，0)，E(

3

4

，

1

4

，

2

2

)
∴

AB

=(

3

2

，-

1

2

，0)，

AE

=(

3

4

，

1

4

，

2

2

)，

AC

=(

3

2

，

1

2

，0)（8分）
設(shè)

n1

=(x1，y1，z1)是平面ABE一個法向量
由

n1 • AB =x1• 3 2 +y1•(- 1 2 )+z1•0=0 n1 • AE =x1• 3 4 +y1• 1 4 +z1• 2 2 =0

，解得

y1= 3 x1 z1=- 6 2 x1

，
所以取x₁=1，y1=

3

，z1=-

6

2

，可得

n1

=(1，

3

，-

6

2

)，
因為PA⊥平面ABC，所以向量

PA

即為平面ABC的一個法向量，設(shè)

PA

=

n2

=(0，0，

2

)（10分）
∴cos＜n1，n2＞=

n1 • n2

|n1| |n2|

=

- 6 2 × 2

1+3+ 3 2 • 2

=-

33

11

根據(jù)題意可知：二面角E-AB-C是銳二面角，其余弦值等于|cos＜n₁，n₂＞|=

33

11

∴二面角E-AB-C的平面角的余弦值為

33

11

．（12分）

點評：本題給出底面為菱形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，證明線面垂直并且求二面角所成角的余弦之值，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)和用空間向量求平面間的夾角的知識點，屬于中檔題．