Question

【題目】已知定義在上的二次函數(shù)，且在上的最小值是8.

（1）求實數(shù)的值；

（2）設(shè)函數(shù)，若方程在上的兩個不等實根為，證明：.

Answer 1

【答案】（1）4；（2）見解析

【解析】

（1）表示的對稱軸，討論當(dāng)時，分析單調(diào)性在上單調(diào)遞增，則，同理分別討論當(dāng)時，當(dāng)時兩種情況，綜上得答案；

（2）由（1）可知，的解析式，分別設(shè)兩個不等實根為，由對稱軸為，得，，再由對稱性得到，且，由在R上單調(diào)遞增，表示不等式，因為且在該區(qū)間單調(diào)遞減可構(gòu)建不等式，整理為，同樣由在R上單調(diào)遞增，表示所證明的不等式.

（1）對于二次函數(shù)的對稱軸為

當(dāng)即時，在上單調(diào)遞增，

則

當(dāng)即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

則，此時a無解

當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減

則（舍）

綜上所述：實數(shù)的值為4

（2）由（1）可知：，則，

設(shè)在上的兩個不等實根為

因為對稱軸為，所以，，

且整理可得，且

顯然在R上單調(diào)遞增，所以，即

又因為且在該區(qū)間單調(diào)遞減

所以，即

故