Question

（本題滿分10分）

一個(gè)袋中裝有若干個(gè)大小質(zhì)地相同的黑球、白球和紅球，已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是．

（Ⅰ）若袋中共有10個(gè)球，

 ①求白球的個(gè)數(shù)；

  ②從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．

（Ⅱ）求證：從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)黑球的概率不大于，并指出袋中哪種顏色的球個(gè)數(shù)最少．

Answer 1

（Ⅰ）①記“從袋中任意摸出兩個(gè)球，至少得到一個(gè)白球”為事件A，設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為，則，得到．故白球有5個(gè)．…………(3分)

②隨機(jī)變量的取值為0，1，2，3，分布列是

ξ	0	1	2	3

的數(shù)學(xué)期望．…………(6分)

（Ⅱ）證明：設(shè)袋中有個(gè)球，其中個(gè)黑球，由題意得，

所以，，故．

記“從袋中任意摸出兩個(gè)球，至少有1個(gè)黑球”為事件B，

則．

所以白球的個(gè)數(shù)比黑球多，白球個(gè)數(shù)多于，紅球的個(gè)數(shù)少于．

故袋中紅球個(gè)數(shù)最少．…………(10分)