Question

已知函數(shù)f(x)=x+

1

x

（1）求函數(shù)y=f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性并證明；
（3）判斷函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（1，+∞）的單調(diào)性并證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)分母不為0得到x的范圍，即為函數(shù)的定義域；
（2）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，理由為：根據(jù)（1）找出函數(shù)的定義域，發(fā)現(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，然后求出f（-x），化簡(jiǎn)后得到其等于-f（x），從而根據(jù)奇函數(shù)的定義得到此函數(shù)為奇函數(shù)；
（3）函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)，理由為：在區(qū)間（1，+∞）上任取x₁＞x₂＞1，求出f（x₁）-f（x₂），通分后，根據(jù)設(shè)出的x₁＞x₂＞1，判定其差大于0，即f（x₁）＞f（x₂），從而得到函數(shù)為增函數(shù)．

解答：解：（1）要使函數(shù)有意義，則x≠0，
∴函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}；（4分）
（2）函數(shù)f(x)=x+

1

x

是奇函數(shù)，
證明：函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋海?∞，0）∪（0，+∞）
任取x∈（-∞，0）∪（0，+∞），都有f(-x)=(-x)+

1

-x

=-(x+

1

x

)=-f(x)
所以函數(shù)f(x)=x+

1

x

（x∈（-∞，0）∪（0，+∞））是奇函數(shù)；（8分）
（3）函數(shù)f(x)=x+

1

x

在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，
證明：任取x₁、x₂使得x₁＞x₂＞1，
都有f(x1)-f(x2)=(x1+

1

x1

)-(x2+

1

x2

)=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

由x₁＞x₂＞1得，x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以，函數(shù)f(x)=x+

1

x

在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了函數(shù)定義域及其求法，函數(shù)奇偶性的判定，以及函數(shù)單調(diào)性的判定．奇函數(shù)的判定方法為：f（-x）=-f（x）且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；函數(shù)單調(diào)性的判別方法為：在定義域內(nèi)任意取兩個(gè)自變量設(shè)出其大小關(guān)系，利用作差的方法判定其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的大小關(guān)系，從而得到函數(shù)的單調(diào)性．