Question

【題目】已知點(diǎn)，橢圓：的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)的面積最大時(shí)，求的直線方程．

Answer 1

【答案】(1)；(2)或.

【解析】

試題分析：（1）通過直線的斜率求得，通過離心率即可求得，故得到的方程；（2）設(shè)出直線的方程和點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓方程，當(dāng)判別式大于時(shí)，根據(jù)韋達(dá)定理得根與系數(shù)的關(guān)系得到的長.根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式代入三角形面積中，得到其關(guān)于的表達(dá)式，根據(jù)換元法和基本不等式即可得到當(dāng)面積取得最大值時(shí)的值，即求得的方程．

試題解析：（1）設(shè)右焦點(diǎn)，由條件知，，得．

又，所以，，故橢圓的方程為．

（2）當(dāng)軸時(shí)不合題意，故設(shè)直線：，，．

將代入，得，

當(dāng)，即時(shí)，，

從而，

又點(diǎn)到直線的距離，

所以的面積，設(shè)，則，

因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，時(shí)取等號(hào)，且滿足．

所以當(dāng)的面積最大時(shí)，的方程為或．