Question

在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱AB和BC的中點(diǎn)，EF與BD交于點(diǎn)G．
（1）求二面角B₁-EF-B的正切值；
（2）M為棱BB₁上的一點(diǎn)，當(dāng)

B1M

MB

的值為多少時(shí)能使D₁M⊥平面EFB₁？試給出證明．

Answer 1

（1）在底面ABCD中，∵AC⊥BD，EF∥AC，∴BG⊥EF，連接B₁G．
又∵BB₁⊥ABCD，∴B₁G⊥EF．
則∠B₁GB是二面角B₁-EF-B的平面角，BG=

1

4

BD=

2

4

a，
tan∠B1GB=

B1B

BG

=2

2

．
（2）當(dāng)

B1M

MB

=1時(shí)滿足題意．
證明：D₁A₁⊥面AB₁，知D₁M在面AB₁的射影是A₁M，
∵△A₁MB≌△B₁EB，∴A₁M⊥B₁E，即D₁M⊥B₁E．
因?yàn)镈D₁⊥平面ABCD，所以BD為D₁M在平面ABCD內(nèi)射影，
連接AC，因?yàn)镋、F為中點(diǎn)，所以AC∥EF，
又因?yàn)锽D⊥EF，所以D₁M⊥EF．又因?yàn)锽₁E∩EF=E．
∴D₁M⊥平面EFB₁