Question

【題目】已知直線(xiàn)l的方程為y=x+2，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)y2=4x上到直線(xiàn)l距離最小的點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線(xiàn)上異于點(diǎn)P的點(diǎn)，直線(xiàn)AP與直線(xiàn)l交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q與x軸平行的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)y2=4x交于點(diǎn)B．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）證明直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)，并求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0 ， y0），則 ，
所以，點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離 ．
當(dāng)且僅當(dāng)y0=2時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，顯然y1≠2．
當(dāng)y1=﹣2時(shí)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣2），直線(xiàn)AP的方程為x=1；
當(dāng)y1≠﹣2時(shí)，直線(xiàn)AP的方程為 ，
化簡(jiǎn)得4x﹣（y1+2）y+2y1=0；
綜上，直線(xiàn)AP的方程為4x﹣（y1+2）y+2y1=0．
與直線(xiàn)l的方程y=x+2聯(lián)立，可得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為 ．
因?yàn)�，BQ∥x軸，所以B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ．
因此，B點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
當(dāng) ，即 時(shí)，直線(xiàn)AB的斜率 ．
所以直線(xiàn)AB的方程為 ，
整理得 ．
當(dāng)x=2，y=2時(shí)，上式對(duì)任意y1恒成立，
此時(shí)，直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)（2，2），
當(dāng) 時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為x=2，仍過(guò)定點(diǎn)（2，2），
故符合題意的直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)（2，2）
【解析】（Ⅰ）利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，求出最小值，然后求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，顯然y1≠2．通過(guò)當(dāng)y1=﹣2時(shí)，求出直線(xiàn)AP的方程為x=1；當(dāng)y1≠﹣2時(shí)，求出直線(xiàn)AP的方程，然后求出Q的坐標(biāo)，求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，解出直線(xiàn)AB的斜率，推出AB的方程，判斷直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)推出結(jié)果．