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        1. 【題目】已知直線l的方程為y=x+2,點P是拋物線y2=4x上到直線l距離最小的點,點A是拋物線上異于點P的點,直線AP與直線l交于點Q,過點Q與x軸平行的直線與拋物線y2=4x交于點B.
          (Ⅰ)求點P的坐標(biāo);
          (Ⅱ)證明直線AB恒過定點,并求這個定點的坐標(biāo).

          【答案】解:(Ⅰ)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0 , y0),則 ,
          所以,點P到直線l的距離
          當(dāng)且僅當(dāng)y0=2時等號成立,此時P點坐標(biāo)為(1,2).
          (Ⅱ)設(shè)點A的坐標(biāo)為 ,顯然y1≠2.
          當(dāng)y1=﹣2時,A點坐標(biāo)為(1,﹣2),直線AP的方程為x=1;
          當(dāng)y1≠﹣2時,直線AP的方程為 ,
          化簡得4x﹣(y1+2)y+2y1=0;
          綜上,直線AP的方程為4x﹣(y1+2)y+2y1=0.
          與直線l的方程y=x+2聯(lián)立,可得點Q的縱坐標(biāo)為
          因為,BQ∥x軸,所以B點的縱坐標(biāo)為
          因此,B點的坐標(biāo)為
          當(dāng) ,即 時,直線AB的斜率
          所以直線AB的方程為 ,
          整理得
          當(dāng)x=2,y=2時,上式對任意y1恒成立,
          此時,直線AB恒過定點(2,2),
          當(dāng) 時,直線AB的方程為x=2,仍過定點(2,2),
          故符合題意的直線AB恒過定點(2,2)
          【解析】(Ⅰ)利用點到直線的距離公式,求出最小值,然后求點P的坐標(biāo);(Ⅱ)設(shè)點A的坐標(biāo)為 ,顯然y1≠2.通過當(dāng)y1=﹣2時,求出直線AP的方程為x=1;當(dāng)y1≠﹣2時,求出直線AP的方程,然后求出Q的坐標(biāo),求出B點的坐標(biāo),解出直線AB的斜率,推出AB的方程,判斷直線AB恒過定點推出結(jié)果.

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          A.(﹣∞,﹣1)
          B.
          C.
          D.

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          x

          3

          ﹣2

          4

          y

          -2

          0

          ﹣4


          A. -1
          B. -1
          C.1
          D.2

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