Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

mx2-2x+1+ln(x+1)
（1）當(dāng)m=-

3

2

時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（2）當(dāng)m≤1時(shí)，曲線C：y=f（x）在點(diǎn)P（0，1）處的切線l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（2）先求切線方程為y=-x+1，再由切線L與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為

1

2

mx²-x+ln（x+1）=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，從而可求實(shí)數(shù)m的范圍．

解答：解：（1）當(dāng)m=-

3

2

時(shí)，f(x)=-

3

4

x2-2x+1+ln(x+1)（x＞-1）
∴f′(x)=-

3x

2

-2+

1

x+1

=-

(x+2)(3x+1)

2(x+1)

∴x∈（-1，-

1

3

）時(shí)，f′（x）＞0；x∈（-

1

3

，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)是x=-

1

3

；
（2）f′（x）=mx-2+

1

x+1

，∴f′（0）=-1，∴切線L：y=-x+1
∵切線L與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴

1

2

mx²-x+ln（x+1）=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，顯然x=0時(shí)成立．
令g（x）=

1

2

mx²-x+ln（x+1），則g′（x）=

mx[x-( 1 m -1)]

x+1

①當(dāng)m=1時(shí)，g′（x）≥0，函數(shù)在（-1，+∞）上單調(diào)增，x=0是方程唯一實(shí)數(shù)解；
②當(dāng)m＜1時(shí)，由g′（x）=0得x₁=0，x₂=

1

m

-1∈（-∞，-1）∪（0，+∞），從而有x=x₂是極值點(diǎn)，因此g（x）=0還有一個(gè)不是0的解，矛盾
綜上知，m=1．

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．