Question

已知函數(shù)f（x）=

2

sin（ωx+φ）（|φ|≤

π

2

）的最小正周期為π，將其圖象向左平移

π

8

個(gè)單位得到函數(shù)．f（x）=

2

sinωx的圖象．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（I）利用函數(shù)的周期求出ω，圖象的平移求出φ，求出函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）確定函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的單調(diào)性．然后求出函數(shù)的最小值和最大值

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=

2

sin（ωx+φ）（|φ|≤

π

2

）的最小正周期為π，所以ω=

2π

π

=2，
故函數(shù)f（x）=

2

sin（2x+φ）將其圖象向左平移

π

8

個(gè)單位得到函數(shù)．
得到f（x）=

2

sin[2（x+

π

8

）+φ]=

2

sin（2x+

π

4

+φ）=

2

sin2x的圖象，
所以

π

4

+φ=0，φ=-

π

4

，
所以函數(shù)f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）．
令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ   k∈Z 
所以-

π

8

+kπ≤x≤

3π

8

+kπ  k∈Z．
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：[-

π

8

+kπ，

3π

8

+kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）在區(qū)間[

π

8

，

3π

8

]上為單調(diào)增函數(shù)，
在區(qū)間[

3π

8

，

3π

4

]上為減函數(shù)，
又f（

π

8

）=0，f（

3π

8

）=

2

，f（

3π

4

）=

2

sin（

3π

2

-

π

4

）=-

2

sin

π

4

=-1．
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的最小值為-1，最大值為

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的應(yīng)用，函數(shù)最值的求法，考查計(jì)算能力．