Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）本小題考查用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，首先求出導(dǎo)數(shù)，計(jì)算，這就是切線斜率，由點(diǎn)斜式寫出切線方程，化簡(jiǎn)即可；（2）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有公共點(diǎn)，說明在區(qū)間上存在，使，由于是連續(xù)的，因此如果在有最大值，則最大值必大于等于1，如有最小值，則最小值必小于等于1，（或存在小于1的值，也存在大于1的值），因此可用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值得出結(jié)論．

試題解析：（1）∵，∴且．

又∵，

∴．

∴在點(diǎn)處的切線方程為：，即．

（2），

（ⅰ）當(dāng)，即時(shí)，

由在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，即．

又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

所以，的圖象與的圖象在上有公共點(diǎn)，

等價(jià)于，解得，

又因?yàn)?/span>，所以．

（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，在上是增函數(shù)，

∴在上的最大值為，

∴原問題等價(jià)于，解得，

又∵，∴無解．

綜上，的取值范圍是．