Question

已知圓C：x²+y²-2ax-2（2a-1）y+4（a-1）=0，其中a∈R．
（1）證明圓C過(guò)定點(diǎn)；
（2）當(dāng)圓心變化時(shí)，求圓心的軌跡方程；
（3）求面積最小的圓C．

Answer 1

分析：（1）分離參數(shù)a，令相應(yīng)的系數(shù)為0，解方程組可得結(jié)論；
（2）確定圓心坐標(biāo)，消去參數(shù)，可得圓心的軌跡方程；
（3）由（1）知圓C總過(guò)定點(diǎn)A（2，0）與B(-

2

5

，

6

5

)，所以當(dāng)線段AB是圓C的直徑時(shí)，圓C的面積最小．

解答：（1）證明：圓C的方程化為x²+y²+2y-4+a（-2x-4y+4）=0
令

x2+y2+2y-4=0 -2x-4y+4=0

，解得

x=2 y=0

或

x=- 2 5 y= 6 5

，
∴無(wú)論a取何值時(shí)，圓C經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)A（2，0）與B(-

2

5

，

6

5

)
（2）解：設(shè)圓心為C（x，y）則

x=a y=2a-1

，消去a，可得y=2x-1，
∴當(dāng)a變化時(shí)，圓C的圓心的軌跡方程是直線2x-y-1=0．
（3）解：由（1）知圓C總過(guò)定點(diǎn)A（2，0）與B(-

2

5

，

6

5

)，所以當(dāng)線段AB是圓C的直徑時(shí)，圓C的面積最小，最小值為S=π(

|AB|

2

)2=

9π

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查圓心的軌跡，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．