Question

某地區(qū)有三座工廠(chǎng)分別位于△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，已知、．為了處理三個(gè)工廠(chǎng)的污水，現(xiàn)要在△ABC區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）且與B、C等距的一點(diǎn)O處建立一個(gè)污水處理廠(chǎng)，并鋪設(shè)排污管道OA、OB、OC．
（1）設(shè)OA=xkm，若要使排污管道總長(zhǎng)不超過(guò)11km，求x的取值范圍；
（2）設(shè)∠OBC=θ，當(dāng)排污管道總長(zhǎng)取最小值時(shí)，求θ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)BC中點(diǎn)為D，由AB=AC及OB=OC知，O點(diǎn)在線(xiàn)段AD上，設(shè)OA=xkm，求出AD，若要使排污管道總長(zhǎng)不超過(guò)11km，即OA+OB+OB≤11，解不等式即可求x的取值范圍；
（2）設(shè)∠OBC=θ，求出排污管道總長(zhǎng)的表達(dá)式，求出取最小值時(shí)的θ值即可．
解答：解：（1）設(shè)BC中點(diǎn)為D，由AB=AC及OB=OC知，O點(diǎn)在線(xiàn)段AD上
km
設(shè)AO=x，則0＜x＜3…（2分）
由OA+OB+OB≤11知…（3分）
即
平方化簡(jiǎn)有：3x²-2x-1≤0…（5分）又  0＜x＜3
故0＜x≤1…（6分）
（2）設(shè)∠OBC=θ，則、
∴
則…（8分）
令得
故k²≥3，又k＞0，故…（10分）
則
此時(shí)有：，即得
又，故
故…（12分）
（若由（1）知得平方化為x的二次方程△≥0得L_min亦可．）
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，兩角和的正弦函數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．