Question

已知函數(shù)f(x)=

x

a

+

a-1

x

（a≠0且a≠1）．
（Ⅰ）試就實(shí)數(shù)a的不同取值，寫(xiě)出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）已知當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)在(0，

6

)上單調(diào)遞減，在(

6

，+∞)上單調(diào)遞增，求a的值并寫(xiě)出函數(shù)F(x)=

3

f(x)的解析式；
（Ⅲ）記（Ⅱ）中的函數(shù)F(x)=

3

f(x)的圖象為曲線C，試問(wèn)是否存在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l，使得l為曲線C的對(duì)稱軸？若存在，求出l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于0根據(jù)a的不同值求出x的范圍．
（2）令f'（

6

）=0求出a即可得到答案．
（3）假設(shè)存在且設(shè)直線方程y=kx，根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱求出直線斜率即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)知：f′(x)=

1

a

-

a-1

x2

=

x2-a(a-1)

ax2

．
①當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-

a(a-1)

，0)(0，

a(a-1)

)；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0）及（0，+∞）；
③當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，-

a(a-1)

)及(

a(a-1)

，+∞)．
（Ⅱ）由題設(shè)及（Ⅰ）中③知

a(a-1)

=

6

且a＞1，解得a=3，
因此，函數(shù)解析式為F(x)=

3 x

3

+

2 3

x

（x≠0）．
（Ⅲ）假設(shè)存在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l為曲線C的對(duì)稱軸，顯然x、y軸不是曲線C的對(duì)稱軸，
故可設(shè)l：y=kx（k≠0），設(shè)P（p，q）為曲線C上的任意一點(diǎn)，P'（p'，q'）與P（p，q）關(guān)于直線l對(duì)稱，且p≠p'，q≠q'，
則P'也在曲線C上，由此得

q+q′

2

=k

p+p′

2

，

q-q′

p-p′

=-

1

k

，且q=

p

3

+

2 3

p

，q′=

p′

3

+

2 3

p′

，
整理得k-

1

k

=

2

3

，解得k=

3

或k=-

3

3

，
所以存在直線y=

3

x及y=-

3

3

x為曲線C的對(duì)稱軸．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)的關(guān)系，即導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．