Question

（2010•朝陽區(qū)二模）如圖所示，f（x）是定義在區(qū)間[-c，c]（c＞0）上的奇函數(shù)，令g（x）=af（x）+b，并有關(guān)于函數(shù)g（x）的四個論斷：
①對于[-c，c]內(nèi)的任意實(shí)數(shù)m，n（m＜n），

g(n)-g(m)

n-m

＞0恒成立；
②若b=0，則函數(shù)g（x）是奇函數(shù)；
③若a≥1，b＜0，則方程g（x）=0必有3個實(shí)數(shù)根；
④若a＞0，則g（x）與f（x）有相同的單調(diào)性．
其中正確的是（　　）

A．②③

B．①④

C．①③

D．②④

Answer 1

分析：①對于[-c，c]內(nèi)的任意實(shí)數(shù)m，n（m＜n），

g(n)-g(m)

n-m

＞0恒成立，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來進(jìn)行判斷；
②若b=0，則函數(shù)g（x）是奇函數(shù)，由函數(shù)解析式的形式判斷即可；
③若a≥1，b＜0，則方程g（x）=0必有3個實(shí)數(shù)根，由函數(shù)的圖象及參數(shù)的取值范圍進(jìn)行判斷；
④若a＞0，則g（x）與f（x）有相同的單調(diào)性，由函數(shù)的圖象進(jìn)行判斷．

解答：解：①對于[-c，c]內(nèi)的任意實(shí)數(shù)m，n（m＜n），

g(n)-g(m)

n-m

＞0恒成立，由函數(shù)的圖象可以看出，函數(shù)不是單調(diào)增函數(shù)，故命題不正確；
②若b=0，則函數(shù)g（x）是奇函數(shù)，此命題正確，b=0時，g（x）=af（x）是一個奇函數(shù)；
③若a≥1，b＜0，則方程g（x）=0必有3個實(shí)數(shù)根，本題中沒有具體限定b的范圍，故無法判斷g（x）=0有幾個根；
④若a＞0，則g（x）與f（x）有相同的單調(diào)性，此命題正確，一個函數(shù)乘上一個正數(shù)再加上一個數(shù)，單調(diào)性不改變．
綜上②④正確
故選D．

點(diǎn)評：本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合，求解本題的關(guān)鍵是對函數(shù)的圖象變換的方式與系數(shù)的關(guān)系以及與所加的常數(shù)的關(guān)系的理解與運(yùn)用．一般一個一個奇函數(shù)乘上一個數(shù)仍是奇函數(shù)，一個增函數(shù)乘上一個正數(shù)仍是增函數(shù)，一個函數(shù)加上一個常數(shù)，不改變其單調(diào)性，由這些結(jié)論即可保證正確做對本題．