Question

（2010•朝陽區(qū)二模）設(shè)函數(shù)f（x）=2sinxcosx-cos（2x-

π

6

）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期； 
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

2π

3

]時，求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時的x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過二倍角公式已經(jīng)兩角差的余弦函數(shù)化簡表達式，然后應(yīng)用兩角差的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的系數(shù)，利用周期公式求函數(shù)f（x）的最小正周期； 
（Ⅱ）根據(jù)x∈[0，

2π

3

]，利用（Ⅰ）求出2x-

π

3

的范圍，利用正弦函數(shù)的最大值直接求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時的x的值．

解答：解：（Ⅰ）因為f（x）=2sinxcosx-cos（2x-

π

6

）
=sin2x-（cos2xcos

π

6

+sin2xsin

π

6

）
=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x
=sin（2x-

π

3

），
所以f（x）=sin（2x-

π

3

）．
函數(shù)f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π．…（7分）
（Ⅱ）因為x∈[0，

2π

3

]，所以2x-

π

3

∈[-

π

3

，π]．
所以，當(dāng)2x-

π

3

=

π

2

，即x=

5π

12

時，sin（2x-

π

3

）=1，
函數(shù)f（x）的最大值為1．…（13分）

點評：本題是中檔題，考查二倍角公式與兩角和與差的三角函數(shù)，函數(shù)的周期以及函數(shù)的最大值的求法，考查計算能力．