Question

已知函數(shù)f(x)=

x-a

ax

(a＞0)
（1）判斷并證明y=f（x）在x∈（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）若存在x₀，使f（x₀）=x₀，則稱x₀為函數(shù)f（x）的不動點(diǎn)，現(xiàn)已知該函數(shù)有且僅有一個(gè)不動點(diǎn)，求a的值，并求出不動點(diǎn)x₀；
（3）若f（x）＜2x在x∈（0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行化簡，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷．
（2）令x=

x-a

ax

轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，根據(jù)該函數(shù)有且僅有一個(gè)不動點(diǎn)，令判別式等于0即可求出a的值．
（3）將函數(shù)解析式代入f（x）＜2x中，整理為

1

a

＜2x+

1

x

，在根據(jù)基本不等式的知識求出y=2x+

1

x

的最小值，令此最小值大于

1

a

，即可求出a的范圍．

解答：解：（1）f(x)=

1

a

-

1

x

對任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＞x₂
f(x 1)-f(x 2)=(

1

a

-

1

x 1

)-(

1

a

-

1

x 2

)=

x 1-x 2

x 1x 2

∵x₁＞x₂＞0
∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，函數(shù)y=f（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）解：令x=

x-a

ax

?ax2-x+a=0，
令△=1-4a2=0?a=

1

2

（負(fù)值舍去）
將a=

1

2

代入ax²-x+a=0得

1

2

x2-x+

1

2

=0?x2-2x+1=0∴x0=1
（3）∵f（x）＜2x
∴

1

a

＜2x+

1

x

∵x＞0
∴2x+

1

x

≥2

2

（等號成立當(dāng)x=

2

2

）
∴

1

a

＜(2x+

1

x

) min=2

2

?a＞

2

4

∴a的取值范圍是(

2

4

，+∞)

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的定義和基本不等式的應(yīng)用．考查計(jì)算能力和綜合運(yùn)用能力．