Question

在數(shù)列a_n中，a₁=0，a₂=2，a_n+1+a_n-1=2（a_n+1），n≥2
（1）求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式
（2）若不等式(x2-x)(

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an+1

)＞1對(duì)任意的正整數(shù)n都成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知得，a_n+1-a_n=a_n-a_n-1+2，（n≥2），所以a_n+1-a_n=2n，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由a_n=n²-n，知

1

an+1

=

1

n

-

1

n+1

，由已知得x2-x＞

n+1

n

=1+

1

n

對(duì)任意的正整數(shù)n均成立，由此能求出所求x的范圍．

解答：解：（1）由已知得，a_n+1-a_n=a_n-a_n-1+2，（n≥2）（1分）
∴數(shù)列a_n+1-a_n是以首項(xiàng)為a₂-a₁=2，公差為2的等差數(shù)列
∴a_n+1-a_n=2n（3分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=n（n-1）
又a₁=0=1×（1-1）適合，
∴a_n=n（n-1）（6分）
（2）由（1）得，a_n=n²-n，
∴

1

an+1

=

1

n

-

1

n+1

∴

1

a2

+

1

a3

++

1

an+1

=

1

n

-

1

n+1

（9分）
由已知得(x2-x)

n

n+1

＞1
即x2-x＞

n+1

n

=1+

1

n

對(duì)任意的正整數(shù)n均成立
∴x²-x＞2
∴x＜-1或x＞2
即所求x的范圍為（-∞，-1）∪（2，+∞）（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和以數(shù)列為載體借助函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的取值范圍，解題要全面考慮，統(tǒng)籌分析，避免丟解．